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ISSN 2806-5638

Palabras claves: Enfoque clásico, Enfoque frecuencial, En-

foque basado en la verosimilitud, Enfoque ﬁducial, Enfoque Ba-

yesiano objetivo, Enfoque Bayesiano subjetivo, Teoría de la de-

cisión.

Explorando la Reconciliación entre los

Enfoques Frecuentista y Bayesiano en Es-

tadística

Abstract

In statistics, frequentist statistics has often been considered

the only way. However, since the 1950s, Bayesian statistics has

been progressively gaining ground in academia. The purpose of

the present study is to demonstrate the meeting points between

these two apparently opposing currents. To this end, the authors

review several topics, explaining what Bayes’ Theorem is by

means of didactic examples. On the other hand, it is shown that

the frequentist reject the central postulate of the Bayesian ap-

proach, but are forced to replace it with alternative solutions, the

most generalized being the Maximum Likelihood. Faced with

this discrepancy, the authors suggest that it could be a misinter-

pretation between both currents and offer examples in which Ba-

yes’ postulate and the Maximum Likelihood principle yield the

same numerical answer. Then, inferences from a priori informa-

tion, both non-informative and informative, are analyzed and the

inferential proposals of both schools are explored. In addition,

the ﬁducial approach, which works with ﬁctitious quantities, is

discussed. All these aspects are discussed from the mathematical

perspectives of renowned statisticians such as Fisher, Keynes,

Carnap, Good, Durbin, Box, Giere, Neyman, Pearson, among

others. In addition, philosophical assumptions that philosophers

such as Lakatos, Popper and Kuhn, among others, have failed

to offer are sought in order to establish a possible reconciliation

between these currents in apparent conﬂict.

Exploring Reconciliation between Fre-

quentist and Bayesian Approaches to Sta-

tistics

Juan Carlos Abril¹ y María de las Mercedes Abril¹

¹Universidad Nacional de Tucumán y Consejo Nacional de In-

vestigaciones Cientíﬁcas y Técnicas (CONICET). Av. Indepen-

dencia 1900, San Miguel de Tucumán, Tucumán, Argentina.

Correspondencia: jabril@herrera.unt.edu.ar;

mabrilblanco@hotmail.com

Recepción: 4 de junio de 2023 - Aceptación: 1 de agosto de

023 - Publicación: 16 de agosto de 2023

Resumen

Keywords: Classical approach, Frequential approach,

Likelihood-based approach, Fiducial approach, Objective

Bayesian approach, Subjective Bayesian approach, Decision

theory.

En estadística, la estadística frecuentista a menudo se ha con-

siderado como la única vía. No obstante, desde la década de

950, la estadística bayesiana ha ido ganando progresivamente

terreno en la academia. El presente estudio tiene como propósi-

to demostrar los puntos de encuentro entre estas dos corrientes

aparentemente opuestas. Para ello, los autores realizan un reco-

rrido por varios tópicos, explicando qué es el Teorema de Bayes

mediante ejemplos didácticos. En contraparte, se muestra que

los frecuentistas rechazan el postulado central del enfoque Ba-

yesiano, pero se ven obligados a reemplazarlo con soluciones al-

ternativas, siendo la más generalizada la Máxima Verosimilitud.

Frente a esta discrepancia, los autores sugieren que podría tratar-

se de una mala interpretación entre ambas corrientes y ofrecen

ejemplos en los que el postulado de Bayes y el principio de Má-

xima Verosimilitud arrojan la misma respuesta numérica. Luego,

se analizan las inferencias a partir de información a priori, tanto

no informativa como informativa, y se exploran las propuestas

inferenciales de ambas escuelas. Además, se aborda el enfoque

ﬁducial, que trabaja con cantidades ﬁcticias. Todos estos aspec-

tos son discutidos desde las perspectivas matemáticas de recono-

cidos estadísticos como Fisher, Keynes, Carnap, Good, Durbin,

Box, Giere, Neyman, Pearson, entre otros. Además, se buscan

suposiciones ﬁlosóﬁcas que ﬁlósofos como Lakatos, Popper y

Kuhn, entre otros, no han logrado ofrecer para establecer una

posible reconciliación entre estas corrientes en aparente conﬂic-

to.

1. Introducción

La teoría de la probabilidad, nos lleva de las probabilidades

dadas de eventos primarios a las probabilidades de eventos más

complejos basadas en ellas. En la práctica estadística general-

mente buscamos hacer inferencias en la dirección inversa; es

decir, dadas las observaciones, requerimos saber algo sobre la

población de donde emanaron o el mecanismo generador por el

cual se produjeron.

La inferencia estadística es un proceso inductivo que va de la

muestra a la población. Al pensar en una hipótesis (H) y da-

tos observacionales, o evidencia (E), no hay problema en hacer

enunciados probabilísticos de la forma P (E |H ); de hecho, es-

tos están justiﬁcados por la lógica deductiva una vez que se espe-

ciﬁcan los axiomas de probabilidad, y tales aﬁrmaciones se han

utilizado repetidamente por muchos autores, incluso nosotros.

Sin embargo, se ha cuestionado la existencia misma de enun-

ciados inductivos de la forma P (H |E ) y muchos ﬁlósofos, en

particular Sir Karl Popper (1968, 1969), han concluido que tales

probabilidades no existen. Tales probabilidades son, por supues-

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to, las probabilidades a posteriori del enfoque Bayesiano, por lo

que el debate, que no muestra signos de disminuir, es de vital

interés para los estadísticos. Para más detalles consultar Popper

y Miller (1987), Good (1988), Gemes (1989) y Miller (1990).

Cualquier procedimiento inferencial debe basarse en un con-

junto de reglas más o menos racional, pero la racionalidad de

cualquier sistema dado y el valor aparente de las conclusiones

que permite alcanzar permanecen abiertos a debate.

En nuestra vida académica y profesional hemos adoptado el

paradigma frecuentista, a veces conocido como enfoque clásico

o frecuencial, que ha sido la escuela dominante de pensamien-

to estadístico durante la mayor parte de los siglos XX y XXI.

Sin embargo, el punto de vista Bayesiano ha ganado popularidad

desde la década de 1950 y en los últimos años se han desarrolla-

do varios otros enfoques de la inferencia, algunos más completos

que otros.

Por lo tanto

P (Br |A, H ) =

P (Br |H ) P (A |Br, H )

P (A |H )

(2)

Usando la Ley de la Probabilidad Total podemos sustituir a

P (A |H ) en (2). Luego encontramos

P (Br |H ) P (A |Br, H )

P (Br |A, H ) = P

{

P (Br |H ) P (A |Br, H )}

P (Br, A |H )

(3)

P (B , A |H )

Esto se conoce como Teorema de Bayes, en honor a Thomas

Bayes (1764), quien lo propuso por primera vez. Establece que

En este trabajo intentamos esbozar tanto las áreas de acuerdo

como las diferencias entre las principales escuelas; no es nuestro

interés desarrollar cada enfoque en detalle.

la probabilidad de que B ocurra dada la ocurrencia de A y la

información H es proporcional a la probabilidad de B dado H

multiplicada por la probabilidad de A dado B y H.

Dado que nuestra discusión es una evaluación bastante breve

de una extensa y compleja literatura, enfatizaremos solo los pun-

tos principales en cuestión. Por lo tanto, examinamos las posi-

ciones “estándares” dentro de cada escuela y no enfatizamos los

debates dentro de una escuela (por ejemplo, la elección de axio-

mas para la probabilidad subjetiva). Esperamos que estos gran-

des trazos sirvan para producir retratos y no caricaturas.

Por lo tanto, la teoría de la probabilidad, nos lleva de las pro-

babilidades dadas de eventos primarios a las probabilidades de

eventos más complejos basadas en ellas. En la práctica estadísti-

ca generalmente buscamos hacer inferencias en la dirección in-

versa; es decir, dadas las observaciones, requerimos saber algo

sobre la población de donde emanaron o el mecanismo generador

por el cual se produjeron. Más adelante iniciaremos un estudio

sistemático de los diversos métodos y procesos inferenciales que

se emplean en Estadística con este ﬁn. En esta etapa nos limi-

taremos a dar un relato introductorio, en términos muy amplios,

con el objeto de dar algún punto inicial a los temas considerados

más adelante.

El teorema da las probabilidades de B cuando se sabe que ha

ocurrido A. Las cantidades P (B |H ) se denominan probabili-

dades a priori, las de tipo P (B |A, H ) se denominan probabi-

lidades a posteriori y P (A |B , H ) se denomina verosimilitud.

El teorema de Bayes puede entonces replantearse en la siguiente

forma: la probabilidad a posteriori varía como la probabilidad a

priori multiplicada por la verosimilitud.

3. El postulado de Bayes

De esta forma, el teorema se ve como una simple consecuen-

cia lógica de las reglas de probabilidad y es indiscutible. Lo que

ha suscitado críticas en el pasado ha sido el uso que se le ha da-

do al teorema. Hay un principio implícito de que, si tenemos que

elegir una de las Br, tomamos la de mayor probabilidad a pos-

teriori. Esto es equivalente a elegir la hipótesis que maximiza la

probabilidad conjunta de Br y A como se ve inmediatamente

del extremo derecho de la ecuación (3). La diﬁcultad surge del

hecho de que para calcular las probabilidades a posteriori reque-

rimos conocer las probabilidades a priori. Estas son, en general,

desconocidas, y Bayes sugirió que cuando esto sea así, se debe-

ría suponer que son iguales; o más bien, que debían ser asumidas

iguales donde nada se supiera en contrario. Esta suposición, co-

nocida como el Postulado de Bayes, el Principio de Equidistribu-

ción de la Ignorancia y por uno o dos nombres más, proporcionó

uno de los puntos más polémicos en la teoría de la inferencia es-

tadística. Antes de discutir el punto, puede ser útil dar algunos

ejemplos.

2. El Teorema de Bayes

Sea B1, B2, . . . , Bn un conjunto de eventos mutuamente ex-

cluyentes y exhaustivos del espacio muestral Ω, sea A otro even-

to de Ω y sea H la información actualmente disponible. De

P (A ∩ B) = P (A |B ) P (B)

3.1. Ejemplos

P (A ∩ B) = P (B |A) P (A)

. Una urna contiene cuatro bolitas, que se sabe que son (a)

todas blancas o (b) dos blancas y dos negras. Se saca una

bolita y se encuentra que es blanca. ¿Cuál es la probabilidad

de que todas las bolitas sean blancas?

tenemos

P (Br ∩ A |H ) = P (Br, A |H )

P (A |H ) P (Br |A, H )

P (Br |H ) P (A |Br, H ) .

(1)

Tenemos aquí dos hipótesis, B y B . En B la probabili-

dad de sacar una bolita blanca es 1, en B2 es 1/2. De (3)

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tenemos

Además, esta será la verdadera cualesquiera que hayan sido

las probabilidades a priori originales. De hecho, si la de la

hipótesis (a) es t y la de (b) es 1 − t, encontramos

P (B1 |H )

P (B1 |A, H )

P (B2 |A, H )

P (B1 |H ) + P (B2 |H )

P (B2 |H )

P (B1 |A, H ) =

2 t + (1 − t)

P (B1 |H ) + P (B2 |H )

que tiende a la unidad para cualquier t distinto de cero.

Esto también está de acuerdo con el sentido común. Cua-

lesquiera que sean las probabilidades originales, la nueva

evidencia es tan fuerte que las supera.■

. De una urna llena de bolitas de color desconocido se extrae

una bolita al azar y se reemplaza m veces y se saca una

bolita negra cada vez ¿Cuál es la probabilidad de que si se

extrae otra bolita, ésta sea negra?

La pregunta tal como está formulada no admite una res-

puesta deﬁnitiva, pues habiendo un inﬁnito número de co-

lores y combinaciones de colores posibles, no sabemos cuá-

les son las hipótesis a comparar. Supongamos que las bo-

litas son blancas o negras y, por lo tanto, consideremos las

hipótesis (1) de que todas son negras, (2) de que todas me-

nos una son negras, (3) de que todas menos dos son negras,

y así sucesivamente. El problema aún carece de precisión,

ya que no se especiﬁca el número de bolitas. Supongamos

que hay N bolitas. Más adelante dejaremos que N tienda a

inﬁnito para obtener el caso límite.

Ahora, de acuerdo con el postulado de Bayes asumimos

P (B1 |H ) = P (B2 |H ) =

y encontramos

P (B1 |A, H )

P (B2 |A, H )

Si tuviéramos que elegir entre las dos posibilidades (a) y

b) deberíamos seleccionar la de mayor probabilidad a pos-

(

teriori, es decir, aceptamos el supuesto de que las bolitas

son todas blancas.

Ahora supongamos que reemplazamos la bolita y nueva-

mente sacamos una al azar. Si se encuentra que es negra,

la hipótesis (a) se rechaza rotundamente. Pero si resulta ser

blanca, podemos calcular nuevas probabilidades a poste-

riori en las que nuestras probabilidades a posteriori ante-

riores se vuelven a priori. Ahora tenemos P (B1 |H ) =

Considere la hipótesis BR de que hay R bolitas negras y

N − R blancas. La probabilidad de sacar una bolita negra

es R/N y la de hacerlo m veces seguidas es (R/N) . Si

/3, P (B2 |H ) = 1/3, donde H incluye A, y una aplica-

los B tienen probabilidades a priori iguales, tenemos, de

ción renovada de (3) nos da las probabilidades a posteriori

′

(

3),

basadas en el nuevo evento, digamos A ,

(

R/N)^m

(R/N)^m

P (BR |A, H ) =

′

P (B1 |A , H )

1 1

2 3

R=0

Ahora la probabilidad de obtener otra bolita negra en la hi-

′

2 3

1 1

2 3

P (B2 |A , H )

pótesis B es R/N. Dado que las hipótesis B son mutua-

mente excluyentes, la probabilidad de obtener otra bolita

negra es

Estará claro que si repetimos el proceso y nuevamente obte-

nemos una bolita blanca, la nueva probabilidad a posteriori

de (a) será aún mayor. Esto está de acuerdo con el requi-

sito del sentido común; cuanto más tiempo pasemos mues-

treando (con reemplazo) sin obtener una bolita negra, más

probable es que no haya bolitas negras presentes.■

(R/N)^m⁺¹

R=0

P (BR |A, H ) =

(4)

R=0

_R_/_N₎m

(

R=0

. Generalizando el Ejemplo anterior, supongamos que saca-

mos bolitas una a la vez, reemplazándolas después de cada

extracción, y obtenemos n bolitas blancas en sucesión. La

probabilidad de este evento en la hipótesis (a) es la unidad;

en la hipótesis (b) es 1/2 . De (3) tenemos, (A se reﬁere a

la observación de todas las n bolas como blancas),

Esta es la respuesta a la forma limitada de la pregunta. Co-

mo N → ∞ esto tiende al cociente de integrales deﬁnidas

_xm+1dx

m + 1

m + 2

(5)

x dx

₂n

P (B1 |A, H )

P (B2 |A, H )

−n

2ⁿ+ 1

+ ₂

Este es un caso particular de la llamada Regla o Ley de

Sucesión de Laplace. Los entusiastas la han aplicado in-

discriminadamente en alguna forma incondicional como la

aﬁrmación de que si se observa que un evento sucede m

veces en sucesión, las posibilidades son m + 1 a 1 de que

vuelva a suceder. Esto es claramente injustiﬁcado.■

2ⁿ+ 1

A medida que n crece, P (B1 |A, H ) tiende a la unidad y

P (B2 |A, H ) a cero.

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Las principales diﬁcultades que surgen del postulado de Ba-

yes aparecen desde el punto de vista de la teoría frecuencial o

frecuentista de la probabilidad, que requeriría que los estados

correspondientes a los diversos B se distribuyeran con igual fre-

cuencia en alguna población de la que haya emanado el B real,

si debe aplicarse el postulado de Bayes. A algunos estadísticos,

aunque no a todos, esto les ha parecido pedir demasiado del uni-

verso. Sin embargo, si adoptamos el punto de vista “lógico” de

la probabilidad, es razonable considerar que las probabilidades

a priori son iguales cuando no se sabe nada en contrario. Asi-

mismo, para los seguidores de la escuela subjetiva, todo lo que

se requiere es que no se debe privilegiar ninguna hipótesis sobre

cualquier otra al contemplar una serie de apuestas. Así, la ma-

yoría de los que ven la probabilidad como un grado de creencia

aceptan el postulado de Bayes, al igual que muchos frecuentistas

lo rechazan explícitamente.

Es de notar particularmente que esto no es lo mismo que elegir

la hipótesis con la mayor probabilidad. Algunos defensores del

principio de Máxima Verosimilitud niegan explícitamente cual-

quier signiﬁcado a expresiones como “la probabilidad de una hi-

pótesis”. Veremos más adelante que en la práctica las diferencias

entre los resultados obtenidos con Máxima Verosimilitud y el

postulado de Bayes no son tan grandes como cabría esperar. Hay,

sin embargo, una importante diferencia conceptual involucrada.

De hecho, hay un cambio de énfasis en la forma en que con-

sideramos la función de verosimilitud, reﬂejada en que la escri-

bimos con una L en lugar de una P. La función de probabilidad

ordinaria da la probabilidad de A sobre los datos B y H; A

varía, B y H están dados. Desde el punto de vista de la vero-

similitud, consideramos varios valores de B para A observado

y H dado; B varía, A y H están dados. Es esta variación de la

función para diferentes valores de los B lo que tenemos en mente

J. L. Savage (1954, 1961) deﬁende el uso puramente subjetivo

de las distribuciones a priori de Bayes. Para una exposición y

discusión penetrante de esos puntos de vista, ver Savage (1962).

Las distribuciones a priori que reﬂejan la ausencia de infor-

mación a priori se conocen como distribuciones a priori vagas o

no informativas. Una diﬁcultad que surge en el caso continuo es

que tales a priori pueden ser impropias. Cuando la información

a priori está disponible, podemos utilizar a priori informativas.

Todavía hay tanto desacuerdo sobre este tema que uno no pue-

de presentar ningún conjunto de puntos de vista como ortodoxo.

Sin embargo, una cosa está clara: cualquiera que rechace el pos-

tulado de Bayes debe poner algo en su lugar. El problema que

Bayes intentó resolver es sumamente importante en la inferen-

cia cientíﬁca y apenas parece posible tener ningún pensamiento

cientíﬁco sin alguna solución, por muy intuitiva y empírica que

sea. Nos vemos constantemente obligados a evaluar el grado de

credibilidad que se concede a las hipótesis sobre dados datos; la

lucha por la existencia, en frase de Thiele (1903), nos obliga a

consultar los oráculos. Pero, añadió, los oráculos no nos eximen

del pensamiento y de la responsabilidad.

al hablar de verosimilitud.

Supongamos (como suele ser el caso en el trabajo estadístico)

que las hipótesis que nos ocupan aﬁrman algo sobre el valor nu-

mérico de un parámetro θ. Por ejemplo, las hipótesis podrían ser

B ≡ θ < 0, B ≡ θ ≥ 0, en cuyo caso hay dos alternativas. O

podríamos tener B ≡ θ = 1, B ≡ θ = 2, etc., en cuyo caso

hay una inﬁnidad denumerable de hipótesis.

Si ahora θ puede tener solo valores discretos, podemos, frente

a un evento observado A, requerir estimar θ, o preguntar cuál es

el “mejor” valor de θ para tomar, dada la evidencia A. El mé-

todo de Bayes sería que en (3) deberíamos buscar que B haga

de P (B |A, H ) un máximo. Si no sabemos nada de las pro-

babilidades a priori P (B |H ), deberíamos, de acuerdo con el

postulado de Bayes, suponer que todas esas probabilidades son

iguales. Entonces simplemente tenemos que encontrar el B que

maximiza L (A |B , H ). En otras palabras, el postulado de Ba-

yes y el principio de Máxima Verosimilitud dan como resultado

la misma respuesta numérica.

.1. Ejemplo

Consideremos tomar una muestra con reemplazo de una urna

. Máxima verosimilitud

que se sabe que contiene N bolitas, un número desconocido R

de las cuales son rojas. Supondremos que se sabe que R es uno

de los números enteros R1, ..., Rk; este conjunto puede corres-

ponder a todos los números enteros 0 ≤ Rj ≤ N.

Se han propuesto varios sustitutos del postulado de Bayes.

Algunos de ellos se plantean como soluciones a problemas es-

pecíﬁcos; tales son los principios de Mínimos Cuadrados y Chi-

cuadrado Mínimo. Hay un principio, sin embargo, de aplicación

general, el de Máxima Verosimilitud.

Volviendo a (3) podemos escribir el teorema de Bayes en la

forma

Si hacemos n selecciones, la probabilidad de r bolitas rojas

viene dada por la fórmula binomial

ꢀ

ꢁ

n−r

p (r |n, R, N ) =

π (1 − π)

r = 0, 1, . . . , n,

P (Br |A, H ) ∝ P (Br |H ) L (A |Br, H ) ,

(6)

donde R = πN. Una vez realizado el experimento, la verosimi-

litud de R, dado r = t digamos, es

donde ahora escribimos L (A |Br, H ) para la verosimilitud. El

principio de Máxima Verosimilitud establece que, cuando nos

enfrentamos a una elección de hipótesis Br, elegimos aquella

ꢀ

ꢁ

n−t

n R (N − R)

L (R |n, t, N ) =

(7)

(

si la hay) que maximiza L. En otras palabras, debemos elegir

la hipótesis que da la mayor probabilidad al evento observado.

Mientras que el teorema de Bayes impone la maximización de la

probabilidad conjunta de Br y A, la Máxima Verosimilitud exige

la maximización de la probabilidad condicional de A dado Br.

para R = R1, . . . , Rk. La probabilidad puede evaluarse para ca-

da Rj a su vez, y el valor de Rj que da la L más grande es la es-

timación por Máxima Verosimilitud. Claramente, multiplicar (7)

por una probabilidad a priori constante no afecta el resultado.■

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Esta proposición no se cumple necesariamente si los valores

permisibles de θ son continuos. Ahora debemos reemplazar ex-

presiones como

por las que deberíamos adoptar el principio de Máxima Verosi-

militud como principio de inferencia estadística, pero ya cono-

cemos sus excelentes propiedades.

Ahora ilustramos la discusión anterior comparando los resul-

tados obtenidos de los argumentos Bayesiano y de Máxima Ve-

rosimilitud para problemas relacionados con la distribución nor-

mal.

P (Br |H )

por una función de densidad a priori f(θ |H ) y en lugar de (6)

tenemos la función de densidad a posteriori

g (θ |A, H ) ∝ f (θ |H ) L (A |θ, H ) .

(8)

.2. Ejemplo

Si ahora requerimos el “mejor” valor de θ, deberíamos, de acuer-

do con el postulado de Bayes, tomar la densidad a priori como

una constante y, una vez más, deberíamos maximizar L para las

variaciones de θ.

Sin embargo, podríamos haber optado por representar nues-

tras hipótesis, no por θ, sino por alguna cantidad ϕ que sea una

función de θ, por ejemplo la desviación estándar en lugar de la

varianza. En este caso deberíamos haber llegado a la ecuación

Considere una muestra independiente de tamaño n de la dis-

tribución normal

(

)

ꢀ

ꢁ

x − µ

dF = √ exp −

dx.

σ 2π

Si las observaciones son x1, x2, . . . , xn, la función de verosimi-

litud puede escribirse







(

8) con ϕ escrito en todas partes en lugar de θ; deberíamos haber

ꢀ

ꢁ

2

xj − µ

tomado la probabilidad a priori como constante; y deberíamos

haber llegado a la conclusión de que debemos maximizar L para

variaciones de ϕ.

Pero, ¿estamos siendo coherentes al hacerlo? Por el habitual

argumento de cambio variable, la densidad a priori para ϕ es

L =

exp

n/2

−

σ (2π)

 2



j=1

Consideramos un rango de posibles valores de µ que podrían

haber generado estas observaciones. Para estimar µ, tomamos el

valor que maximiza L. Dado que L es una función regular de µ,

y L → 0 cuando µ → ±∞, requerimos que µ satisfaga

dθ

fϕ (ϕ |H ) = f (θ |H )

dϕ

∂

∂ L

∂µ²

∂µ

< 0.

de modo que si fθ es constante, fϕ no puede serlo siempre que ϕ

sea una función no lineal de θ. Así, el uso del postulado de Bayes

parece implicar autocontradicciones. Sin embargo, el principio

de Máxima Verosimilitud está libre de esta diﬁcultad, porque si

Dado que L es positivo, obtenemos el mismo resultado al maxi-

mizar log L, a veces (como aquí) un procedimiento más conve-

niente. Entonces tenemos

L(θ) se maximiza en θ, y ϕ(θ) es una función de θ, L(ϕ) se

ꢀ

ꢁ

∂ log L

x − µ

maximiza en ϕ = ϕ(θ). Por lo tanto, no importa cuál sea el

resultado de la parametrización utilizada.

= 0,

(9)

∂µ

j=1

Esta es una de las razones por las que los seguidores de la

escuela frecuencial han rechazado el postulado de Bayes en fa-

vor del principio de Máxima Verosimilitud; pero en nuestra opi-

nión, el asunto ha sido malinterpretado. Parece que el postulado

de Bayes y el principio dan la misma respuesta tanto en el caso

continuo como en el caso discreto. cuando se tiene debidamente

en cuenta los procesos límites implicados. Vimos que al hablar

de probabilidad en un continuo era esencial especiﬁcar la natura-

leza del proceso hasta el límite. Si consideramos que θ (desde el

punto de vista frecuencial) ha emanado de una población especi-

ﬁcada por una densidad rectangular para θ, entonces el postulado

de Bayes aplicado a este proceso claramente dará una respues-

ta diferente de la que se obtiene al suponer que θ emana de una

población cuya función de densidad es rectangular para ϕ. Así,

la inconsistencia aparente no es una inconsistencia en absoluto,

sino una diﬁcultad introducida al ignorar el proceso límite en po-

blaciones continuas.

y así el estimador de µ, digamos µb, viene dado por

xj = nµb

j=1

µb = x,

(10)

la media de las x. Ya que

∂²

log L

µ²

= −

< 0,

∂

σ²

este es un máximo único y, por lo tanto, es la solución de Máxima

Verosimilitud.

Si quisiéramos estimar tanto µ como σ, deberíamos encontrar,

además de (9),

∂

log L

(xj − µ)

Sigue siendo cierto, por supuesto, que para muchos propósitos

prácticos no sabemos cómo surgió el valor real de θ. Si requeri-

mos una teoría de la inferencia que no se vea afectada por nuestra

ignorancia sobre tales puntos, la objeción al postulado de Bayes

permanece y no se aplica al principio de Máxima Verosimilitud.

Por otro lado, todavía no hemos aducido razones convincentes

−

= 0,

(11)

∂σ

j=1

dando

σb =

(xj − µ) .

(12)

j=1

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Mientras que µb no depende de σ, σb sí depende de µ. Elegimos

aquellos estimadores que maximizan la verosimilitud para va-

riaciones simultáneas en µ y σ, es decir, resolvemos (9) y (11)

simultáneamente. esto nos da

Multiplicando (16) por la verosimilitud, obtenemos la densidad

a posteriori (8), y vemos de inmediato que el valor de maximi-

zación viene dado por (11) con (n + 1) en lugar de n, de modo

que

σb =

(x − µ) .

(17)

σb =

(xj − x) ,

(13)

n + 1

j=1

Finalmente, si tanto µ como σ son desconocidos, combinamos

las a priori (15) y (16) y llegamos a µb = x y (17) con µ reempla-

zado por µb.

y (10) y (13) conjuntamente maximizan la verosimilitud.■

.3. El principio de verosimilitud

Frecuentemente consideramos la recomendación de Fisher de

6. A priori informativas

que se utilice la función de verosimilitud (FV) como resumen de

información. Sin embargo, es posible llevar más lejos esta línea

de razonamiento y argumentar que todo procedimiento inferen-

cial debe basarse únicamente en la FV. Este punto de vista puede

expresarse formalmente como el principio de verosimilitud (PV),

que también se presenta en formas débiles y fuertes. El principio

débil (PVD) establece que toda la información sobre θ obtenida

del experimento estadístico, E, está contenida en la FV, L (x |θ).

Si dos repeticiones, que arrojan observaciones x1 y x2, conducen

a probabilidades proporcionales:

Cuando se dispone de información a priori y se puede incorpo-

rar a la función de probabilidad a priori, la probabilidad a poste-

riori puede determinarse a partir de (8). El estimador del paráme-

tro desconocido θ aún se obtendrá maximizando la probabilidad

a posteriori pero, en general, diferirá del estimador por Máxima

Verosimilitud.

.1. Ejemplo

Suponga que la información a priori sobre la media normal µ

puede representarse por

L (x1 |θ) = c(x1, x2)L (x2 |θ) ,

ꢂ

ꢃ

donde la función c es independiente de θ, x1 y x2 proporcionan

la misma información sobre θ, o

(µ − λ)

f (µ |λ, ω ) ∝ exp −

−∞ < µ < ∞.

18)

(

Ev(E, x1) = Ev(E, x2),

(14)

Como en el Ejemplo de §4.2, suponga que tenemos una mues-

tra independiente de tamaño n de la distribución normal. Enton-

ces, de (8), la densidad a posteriori es

donde la igualdad anterior signiﬁca que la evidencia obtenida de

x1 es exactamente igual a la obtenida de x2. La forma fuerte

(

PVF) amplía el principio para incluir dos experimentos diferen-





ꢄ

ꢅ

ꢄ

ꢅ

tes, E1 y E2, de modo que



2

µ − λ

xj − µ

f (µ |λ, ω, σ, x) ∝ exp

−





Ev(E1, x1) = Ev(E2, x2).

Edwards (1974) rastrea la historia del PV.

j=1

(

19)

Derivando con respecto a µ, obtenemos

ꢀ

ꢁ

∂

xj − µ

(λ − µ)

. A priori no informativas

j=1

La ignorancia a priori sobre µ puede ser expresada por la dis-

tribución rectangular a priori no informativa

que da un máximo en

xnω + λσ²

f(µ)dµ ∝ dµ, −∞ < µ < ∞.

(15)

µb =

(20)

nω + σ²

Al combinar esto con la función de verosimilitud del Ejemplo

de §4.2, vemos que la probabilidad a posteriori se maximiza en

Cuando n → ∞, µb → x independientemente de la informa-

µb = x, como antes. Sin embargo, debe notarse que (15) es una a

ción a priori contenida en (λ, ω ). Esto refuerza el punto men-

priori impropia en el sentido de que f(µ)dµ no existe.

Las a priori impropias pueden conducir a paradojas en pro-

blemas multiparamétricos, y recientemente el énfasis se ha des-

plazado a favor del uso de la idea de intercambiabilidad de De

Finetti para representar la ignorancia a priori.

cionado anteriormente, que la información de una muestra suﬁ-

cientemente sólida eventualmente abrumará las opiniones a prio-

ri. Además, notamos que µb → x como ω → ∞. Hacer que

ω → ∞ es una forma de expresar la ignorancia a priori, ya que

(

18) muestra que ω representa la dispersión de µ alrededor de

Cuando se desconoce σ, Jeffreys (1961) recomendó el uso de

una a priori rectangular en la línea real para log σ, o

x. De hecho, una forma de superar el problema de las a priori

impropias es seleccionar una a priori informativa y luego evocar

un argumento límite apropiado. Como en ocasiones anteriores,

la elección adecuada del argumento límite es fundamental.■

dσ

f(σ)dσ ∝

0 < σ < ∞.

(16)

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utilizado repetidamente por muchos autores, incluso nosotros.

Sin embargo, se ha cuestionado la existencia misma de enun-

ciados inductivos de la forma P (H |E ) y muchos ﬁlósofos, en

particular Sir Karl Popper (1968, 1969), han concluido que tales

probabilidades no existen. Tales probabilidades son, por supues-

to, las probabilidades a posteriori del enfoque Bayesiano, por lo

que el debate es de vital interés para los estadísticos. De hecho,

no muestra signos de disminuir dicho debate, y el lector interesa-

do debe consultar Popper y Miller (1987), Good (1988), Gemes

Cuadro 1: Formas comunes de distribuciones a priori con-

jugadas

Verosimilitud Parámetro A priori/A posteriori

Normal

Binomial

Poisson

Normal

Gamma (para σ )

Beta

_σ2

−2

Gamma

(

1989) y Miller (1990) para conocer más desarrollos.

Cualquier procedimiento inferencial debe basarse en un con-

La elección de una densidad a priori normal en el Ejemplo de

6.1 es ciertamente conveniente, pero ¿es apropiada? Recordan-

do que tales a priori expresan grados de creencia, la respuesta

ﬁnal para el subjetivista debe ser individual, aunque la teoría ló-

gica puede esperar una respuesta más deﬁnitiva.

junto de reglas más o menos racional, pero la racionalidad de

cualquier sistema dado y el valor aparente de las conclusiones

que permite alcanzar permanecen abiertos a debate.

En nuestra vida académica y profesional hemos adoptado el

paradigma frecuentista, a veces conocido como enfoque clásico

o frecuencial, que ha sido la escuela dominante de pensamien-

to estadístico durante la mayor parte de los siglos XX y XXI.

Sin embargo, el punto de vista Bayesiano ha ganado popularidad

desde la década de 1950 y en los últimos años se han desarrolla-

do varios otros enfoques de la inferencia, algunos más completos

que otros.

En este trabajo, intentamos esbozar tanto las áreas de acuerdo

como las diferencias entre las principales escuelas; no es nuestro

interés desarrollar cada enfoque en detalle. Barnet (1982), Da-

wid (1984) y el volumen editado por Godambe y Sprott (1971)

ofrecen discusiones generales sobre la inferencia comparativa.

En Howson y Urbach (1989) aparece una discusión más ﬁlosóﬁ-

ca que respalda el enfoque Bayesiano subjetivo.

Dado que nuestra discusión es una evaluación bastante breve

de una extensa y compleja literatura, enfatizaremos solo los pun-

tos principales en cuestión. Por lo tanto, examinamos las posi-

ciones “estándares” dentro de cada escuela y no enfatizamos los

debates dentro de una escuela (por ejemplo, la elección de axio-

mas para la probabilidad subjetiva). Esperamos que estos gran-

des trazos sirvan para producir retratos y no caricaturas.

En general, las a priori arbitrarias hacen que las matemáticas

sean intratables. Dado que el conocimiento de la forma funcio-

nal de la a priori es a menudo vago, esto ha llevado al desarrollo

de una clase de distribuciones a priori conjugadas, para las cua-

les la a priori y la a posteriori tienen la misma forma funcional.

Algunas de las formas comunes se resumen en el Cuadro 1.

La introducción de a priori conjugadas abre un camino por el

cual la información a priori puede introducirse en un análisis fre-

cuentista. Dado que la verosimilitud y la a priori son compatibles

en forma, el frecuentista puede especiﬁcar una probabilidad a

priori que se considera “equivalente” a n0 observaciones. Cuan-

do n0 = 0, la verosimilitud a priori sería plana pero aún adecua-

da. Cuando n0 > 0, el estimador por Máxima Verosimilitud se

modiﬁca de la misma manera que el estimador de probabilidad a

posteriori.

.2. Ejemplo

Sea la probabilidad a priori para la media normal

ꢂ

ꢃ

n0(µ − λ)

Lp(µ |λ, n0 ) ∝ exp −

−∞ < µ < ∞,

8. Un marco para la inferencia

por lo que en (18) ponemos ω = σ /n0. Siguiendo el funcio-

namiento del Ejemplo de §6.1, (20) es ahora

En términos generales, el proceso inferencial contiene los si-

guientes ingredientes:

nx + n0λ

µb =

(21)

Una variable aleatoria medible (vectorial) X, que toma va-

lores en el espacio muestral X.

n + n0

Comparando (20) y (21), vemos la diferencia de énfasis en que la

El o los parámetro(s) desconocido θ, que se puede dividir

en parámetros de interés directo y parámetros no deseados

verosimilitud a priori requiere la especiﬁcación de λ y ω . Una

vez más, las ideas utilizadas conducen a formulaciones diferen-

tes, aunque los resultados ﬁnales pueden ser muy similares.■

(

en inglés “nuisance parameter”), que luego se denotan por

θ y ϕ, respectivamente. El conjunto de valores posibles de

θ está deﬁnido en el espacio paramétrico Ω.

. Inferencia Estadística Comparada

La población de interés que tomamos es representable en

términos de una familia de distribuciones de probabilidad

{F(x, θ)}, indexada por θ. Usamos

F ≡ F(θ) ≡ F(x, θ) = P(X ≤ x |θ)

indistintamente cuando no surja ambigüedad. La forma

funcional de F puede estar completamente especiﬁcada o

ser miembro de alguna clase de distribuciones, F.

La inferencia estadística es un proceso inductivo que va de la

muestra a la población. Al pensar en una hipótesis (H) y da-

tos observacionales, o evidencia (E), no hay problema en hacer

enunciados probabilísticos de la forma P (E |H ); de hecho, es-

tos están justiﬁcados por la lógica deductiva una vez que se espe-

ciﬁcan los axiomas de probabilidad, y tales aﬁrmaciones se han

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Un experimento estadístico que produce un conjunto de

es consistente y asintóticamente insesgado bajo condiciones de

regularidad moderada cuando las observaciones son indepen-

dientes y de la misma distribución. Además, el EMV es una fun-

ción de los estadísticos suﬁcientes y es asintóticamente IVM.

Incluso en esta etapa, encontramos alguna separación de ca-

minos, que las propiedades para muestras grandes del EMV tien-

den a oscurecer. Si T es un estimador insesgado para θ, entonces

g(T) no es insesgado para ϕ = g(θ), mientras que el EMV es

funcionalmente invariante, de modo que

observaciones, descrito por el vector aleatorio X

′

(

X1, X2, . . . , Xn) , con una realización particular, los da-

′

tos de la muestra, denotados por x = (x1, x2, . . . , xn) . El

procedimiento experimental especiﬁca el modo de mues-

treo y la forma de la regla de muestreo, S, se requiera o no

dicha información.

Nuestra notación no distinguirá entre vectores y escalares, a

menos que la discusión explísitamente requiera que se haga la

distinción.

Además, puede haber información histórica (o previa) con res-

pecto a θ de carácter personal u objetiva que resumimos en al-

guna función p(θ). Dado que la especiﬁcación, el uso e incluso

la existencia de dicha información es un tema de considerable

debate, aplazamos la discusión adicional de este tema. La forma

general del problema de inferencia es usar la información dispo-

nible

θ = T ⇐⇒ ϕ = g(T).

(25)

9.1. Ejemplo

Dada una muestra aleatoria de n observaciones, X, de una

población normal con media θ y varianza 1, tenemos que

ϕ = (X) ,

θ = X

I = {X, Ω, F, x, S, p}

(22)

cuando ϕ = θ . Sin embargo, el IVM para ϕ es

para hacer declaraciones inductivas sobre θ. Ahora examinamos

los diversos enfoques de este problema, comenzando con una

descripción general del enfoque frecuentista o frecuencial que

hemos adoptado hasta ahora. Luego dirigimos nuestra atención a

la inferencia Bayesiana. Se concluye con una evaluación de los

diferentes enfoques y una discusión de los intentos de reconci-

liación entre estas escuelas de pensamiento.

T = (X) −

(26)

Aunque E(T) = ϕ y ϕ ≥ 0, puede suceder que el valor observa-

do de T sea negativo. El sentido común sugiere reemplazar los

valores negativos de T por cero, aunque esto viola la propiedad

de imparcialidad. En general, tales ajustes producen estimadores

con un error cuadrático medio más pequeño, por lo que diferen-

tes criterios pueden conducir a diferentes estimadores.■

Los estimadores ad hoc obtenidos al resolver T = g(θ), don-

. El enfoque frecuencial

de E(T) = g(θ), se usan ampliamente y se justiﬁcan apelando a

la falta de sesgo para g(θ), aunque estos estimadores están ses-

gados para θ a menos que g(θ) es una función lineal.

La teoría frecuencial de probabilidad supone que es posible

considerar una sucesión inﬁnita de réplicas independientes del

mismo experimento estadístico.

Ahora limitamos la atención principalmente a la estimación

puntual. Podemos considerar un estadístico o estimador, T(X),

como un resumen de la información sobre θ; por simplicidad,

a menudo restringiremos la atención a un solo parámetro. En el

estudio de la estimación identiﬁcamos ciertas propiedades desea-

bles para T, como la consistencia y la falta de sesgo. Dado que

a menudo hay una multiplicidad de estimadores que satisfacen

estos requisitos, buscamos medidas de eﬁciencia e identiﬁcamos

estimadores deseables como IVM, insesgados de varianza míni-

ma. El criterio más amplio de MECM o menor error cuadrático

medio a veces se considera más apropiado y aplicable.

Aunque estos criterios pueden considerarse deseables en sí

mismos, carecen de un método para construir estadísticos ade-

cuados, T. Dentro de la familia exponencial, se puede identiﬁcar

el conjunto de estadísticos suﬁcientes que conducen al estimador

IVM de θ, si existe. De manera más general, establecimos que el

estimador por máxima verosimilitud (EMV), obtenido como

0. Inferencia Bayesiana

El enfoque Bayesiano del problema de la inducción es supo-

ner que se puede especiﬁcar una distribución a priori para el pará-

metro θ, p(θ), por ejemplo, deﬁnida en el espacio de parámetros

θ ∈ Ω. Dada la función de verosimilitud, L(x |θ), se deduce de

una aplicación del teorema de Bayes que la distribución a poste-

riori es

P(θ |x) ∝ p(θ)L(x |θ).

(27)

Debe notarse que la versosimilitud, L, dada en (24) diﬁere en la

forma de escribir su argumento de aquella dada en (27). En un

caso (el primero) esa función está escrita como función de θ para

una muestra x dada, según lo considerado por Fisher, y en el otro

caso (la segunda) se la considera como función de x para θ dado.

Pero ambas formas son matemáticamente equivalentes.

Una vez que se acepta la noción de especiﬁcar una distribu-

ción a priori para θ, el marco de la inferencia Bayesiana pue-

de desarrollarse deductivamente a partir de uno de varios siste-

mas de axiomas (por ejemplo, Ramsey, 1926; Good, 1950; Sava-

ge, 1962; De Groot, 1970); para una evaluación detallada, véase

Fishburn (1986).

θ = m ´a x L(θ |x),

(23)

θ∈Ω

donde

Por lo tanto, la pregunta clave es cómo especiﬁcar la distribu-

ción a priori. Se pueden considerar tres enfoques posibles:

L(θ |x) =

f(xi |θ),

(24)

i=1

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(

i) como una distribución de frecuencias, basada en la expe-

riencia pasada;

10.1.1. Ejemplos

1. Una urna contiene un número desconocido de bolitas de

igual tamaño y peso que están hechas del mismo material.

(

ii) como una representación objetiva de creencias iniciales ra-

cionales sobre el parámetro;

Cuál es la probabilidad a priori de que se seleccione una

bolita blanca en la primera extracción cuando se le dice que

la urna contiene bolitas que son:

(

iii) como un enunciado subjetivo sobre lo que Usted (una per-

sona especíﬁca) cree antes de que se recopilen los datos.

(a) blanca o no blanca,

(b) blanca, roja o azul?

Consideraremos la alternativa (i) sólo brevemente. De acuerdo

con el enfoque frecuencial, necesitaríamos tener un proceso sub-

yacente que genera los valores del parámetro que es estable, o al

menos predecible. Los ejemplos incluyen esquemas de produc-

ción industrial donde una distribución a priori para la proporción

de defectuosos, por ejemplo, puede evaluarse a partir de regis-

tros anteriores. De manera más general, los modelos de espacio

de estado en series de tiempo suponen que los parámetros (esta-

do) se desarrollan en el tiempo de acuerdo con una ecuación de

estado como

El principio de razonamiento insuﬁciente nos lleva a con-

cluir que p = 1/2 en el caso (a), pero p = 1/3 en el caso

(b).■

A pesar de este ejemplo, el principio a menudo puede servir

como un punto de partida razonable. Una implicación de

ese principio es la Ley de Sucesión de Laplace que muestra

que si se parte de

Ω = {0, 1/N, 2/N, . . . , (N − 1)/N, 1} ,

(29)

θt = θt−1 + δt,

(28)

y asigna probabilidades a priori iguales 1/(N + 1) a cada

donde δt representa un disturbio aleatorio en el tiempo t. Véase

Abril (1999 y 2004), Abril y Abril (2018) para una discusión más

detallada.

estado, con

am+1 = {la prueba (m + 1)-ésima es un éxito},

bm = {las primeras m pruebas son éxito},

De alguna manera, esto puede verse como una mezcla de acei-

te y agua y podría hacerse la reconvención de que la información

a priori no está permitida en el esquema frecuentista. Por cierto,

tal aﬁrmación la hacen los críticos del enfoque frecuencial, pe-

ro parece representar una interpretación demasiado literal de ese

punto de vista. De hecho, se debe notar que, aunque lo anterior

se especiﬁca en términos frecuentistas, (28) todavía requiere que

estemos dispuestos a considerar la distribución a posteriori para

θ.

entonces

m + 1

P {am+1 |bm } =

(30)

m + 2

para cualquier m y N ≥ 1.■

2. Si se lanza una moneda m veces y sale cara cada vez,

¿aceptaríamos que la probabilidad de que en el próximo

lanzamiento salga cara viene dada por (30)?

La respuesta probablemente sea no, porque nos basamos

en mucha experiencia pasada que dice que la moneda tiene

cara y cruz y que cualquier lado tiene “igual probabilidad”

de caer boca arriba. Sin embargo, esto no viola el princi-

pio, sino que nos dice que asignar probabilidades iguales a

los valores en (29) no fue una declaración precisa de creen-

cia a priori. Por el contrario, si hay tres monedas: una con

dos caras, una estándar y otra con dos cruces, especiﬁcar

probabilidades iguales en (29) con N = 2 sería muy plau-

sible. Tenga en cuenta que no requerimos que se seleccio-

ne una moneda al azar, sino que ignoramos el proceso de

selección.■

0.1. Probabilidad objetiva

La probabilidad objetiva o lógica fue desarrollada, en parti-

cular por Jeffreys (1961, versión revisada de su libro de 1939)

y otros, para proporcionar una medida sustancial del peso de la

evidencia que favorece una hipótesis dada a la luz de los datos.

Es decir, se buscó una distribución a priori acordada que per-

mitiera hacer aﬁrmaciones de probabilidad a posteriori sobre la

base de un ensayo particular.

Gran parte del trabajo de Jeffreys se centró en las especiﬁca-

ciones de una distribución a priori en situaciones en las que no se

sabe nada acerca de los parámetros antes de que se lleve a cabo

el experimento estadístico. Curiosamente, la mayoría de los Ba-

yesianos subjetivos, como Lindley (1971), argumentarían ahora

que siempre hay alguna información disponible y que la espe-

ciﬁcación de la ignorancia a priori no es un problema. Cuando

el número de valores de θ en Ω es ﬁnito, es factible hacer uso

del postulado de Bayes (también conocido como principio de

razonamiento insuﬁciente o principio de indiferencia) y asignar

probabilidades a priori iguales a cada valor posible. Esto requiere

que se pueda establecer una base satisfactoria de posibles valores

de parámetros, lo que no siempre es una tarea trivial.

Ahora supongamos que Ω es continuo; incluso si la a priori

para θ es rectangular en un intervalo ﬁnito, eso para cualquier

transformada no lineal de g(θ) no lo será. Esto llevó a Jeffreys a

proponer el uso de la a priori

p(θ) ∝ {I(θ)}

(31)

dónde I(θ) = −E(∂ log L/∂θ ). Él llegó a (31) seleccionan-

do la forma de g(θ) para la cual p{g(θ)} es rectangular, incluso

si es impropia en algunos casos; la función de g(θ) correspon-

de entonces a un parámetro de posición para la distribución, al

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menos localmente. Jeffreys llamó a las a prioris dadas por (31)

invariantes.

La evaluación explícita de (32) puede resultar muy difícil para

problemas de dimensiones altas. Sin embargo, los innovadores

procedimientos de integración numérica desarrollados por Nay-

lor y Smith (1988), entre otros, han contribuido en gran medida

a la viabilidad de este enfoque.

Para reglas de actualización más generales, ver Diaconis y Za-

bell (1982).

Aunque el concepto que Jeffreys estaba tratando de hacer ope-

rativo es atractivo, no parece posible desarrollarlo de manera

consistente; véanse las críticas en Barnett (1982, Capítulo 6) y

Howson y Urbach (1989, Capítulo 9). Es interesante especular si

Jeffreys habría adoptado (31) si sus resultados no hubieran coin-

cidido con los existentes.

0.3. Estimación Bayesiana

0.2. Probabilidades subjetivas

La estimación puntual generalmente se basa en el modo o en

la media de la distribución a posteriori. El modo a posteriori

Dejamos ahora el punto de vista objetivista y aceptamos que

viene dado por θ, donde

las probabilidades a priori son necesariamente personales y se

basan en nuestra propia experiencia. Para que un esquema de

este tipo sea operativo, es necesario que

P(θ |x) = m a´ x P(θ |x);

(33)

(

a) Uno tenga creencias sobre los parámetros de interés, que se

pueden expresar en forma de probabilidades;

cuando la distribución a priori es rectangular, θ será equivalente

al estimador por MV (θb).

La media a posteriori, dada por

(

b) Sus probabilidades pueden compararse entre sí (aunque no

es necesario que sean comparables con las de nadie más);

θ = E(θ |x),

(34)

(

c) Sus probabilidades pueden evaluarse mediante algún es-

quema de apuestas hipotéticas.

será igual al estimador por MV solo para elecciones especíﬁcas

de la distribución a priori.

Si Su comportamiento de apuestas es internamente consis-

0.3.1. Ejemplo

tente, se deduce que Sus probabilidades satisfacen las reglas es-

tándar de probabilidad y se dice que Usted es coherente; de lo

contrario, eres incoherente y un Bayesiano podría hacer apuestas

Contigo de tal manera que perderías dinero. Este es el principio

de coherencia, que establece que su sistema de apuestas debe ser

internamente consistente. Presumiblemente, se usó la coherencia

para evitar confusiones con el uso de la consistencia de Fisher en

la estimación y los tests de hipótesis. ¡Claramente, los no Baye-

sianos no tienen el monopolio de las palabras clave virtuosas!

El requisito clave ahora es la evaluación de la distribución a

priori. La mayoría de los subjetivistas (p. ej., Ramsey, 1931; Sa-

vage, 1954) utilizan algún método para evaluar apuestas justas,

ya sea directamente para el fenómeno en estudio o en compara-

ción con algunos experimentos estandarizados (p. ej., un esque-

ma de urna). Se supone que dichas evaluaciones pueden hacerse

directamente para las probabilidades, sin estar contaminadas por

utilidades relativas de diferentes resultados.

Sea π la probabilidad de éxito en un ensayo Bernoulli con

función de frecuencia a priori

p(π) ∝ π^a⁻¹(1 − π)^b⁻¹

Dados n ensayos con x éxitos, la a posteriori es

_P₍_π_|_x₎_∝_πa+x−1₍₁₋_π₎b+n−x−1

de donde obtenemos

a + x − 1

a + x

n + a + b

θ =

n + a + b − 2

comparado con θ = x/n. Tras la inspección, θ = θ para la a

posteriori rectangular (a = b = 1), mientras que θ = θ cuando

a = b = 0, una elección degenerada que no es factible.■

Las estimaciones por intervalo se pueden obtener directamen-

te de la distribución a posteriori; la inferencia básica permite el

_le_on_ru_e n_s c _θi₁ad _yo_θ“₂c_” o _on probabilidad 1 − α, θ se encuentra entre los va-

Una vez que Usted haya establecido Su distribución a priori,

el análisis Bayesiano subjetivo procede directamente, aunque a

menudo será deseable usar conjugadas a priori como se las de-

ﬁnió anteriormente para simpliﬁcar el álgebra. Si el conjunto de

parámetros es (θ, ϕ), donde ϕ denota parámetro(s) no deseados

P(θ1 ≤ θ ≤ θ2) = P(t2 |x) − P(t1 |x) = 1 − α.

(35)

(

nuisance), el enfoque estándar es examinar la distribución mar-

ginal a posteriori

El intervalo [θ1, θ2] se conoce como una región creíble del

00(1 − α) por ciento. Paralelamente a la noción de un inter-

P(θ |x)

P(θ, ϕ |x)dϕ

valo físicamente más corto, podemos elegir el conjunto Ω de

valores θ, tal que (35) se satisface y

ꢂ

ꢃ

L(x |θ, ϕ)p(θ, ϕ)dϕ.

(32)

∂

P(θ)

θ ∈ Ω1 :

≥ c .

(36)

∂

¹A partir de aquí se invita al lector, es decir a Usted, a involucrarse

en este juego y se usa mayúscula en Sus pronombres porque suponemos

que es Usted quien realiza la acción

Tal intervalo (o región) se conoce como la región creíble de ma-

yor densidad a posteriori (MDP).

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0.3.2. Ejemplo

10.5. La relación entre los enfoques Bayesianos y

ﬁduciales

Para una muestra aleatoria de tamaño n de una población nor-

mal con varianza conocida, digamos N(µ, σ ), considere la dis-

tribución a priori N(ϕ, τ ). De §6, la distribución a posteriori

para µ es N(µp, σ ), donde

Como se sabe, si t es el estadístico suﬁciente (mínimo) para

el el único parámetro θ, con función de distribución F(t |θ), la

distribución ﬁducial de θ dado t tiene función de densidad (de

probabilidad)

2 2

σ τ

ϕσ + nxτ

µp =

σ =

σ + nτ

∂

G(θ |t)

∂F(t |θ)

g(θ |t) =

= −

(38)

∂

∂θ

La región creíble de MDP para µ es

siempre que F sea monótona decreciente en θ. Algunas de las

diﬁcultades de este enfoque son cómo proceder en ausencia de

un estadístico suﬁciente, la falta de unicidad (en casos multipa-

ramétricos) y la falta de una interpretación frecuencial.

µp ± z₁₋_α_/₂σp,

donde z representa los puntos porcentuales de N(0, 1). En este

ejemplo, θ = θ y estos serán iguales a θ para la a priori rectan-

gular impropia dado al hacer τ → ∞; los intervalos creíble y de

conﬁanza serán idénticos (¡numéricamente hablando!).■

Los trabajos de Fisher sobre inferencia ﬁducial fueron evi-

dentemente inﬂuenciados por Keynes (1921), Carnap (1962), y

otros, que buscaron desarrollar una visión epistémica de la pro-

babilidad que mediría el “grado de credibilidad racional” de una

hipótesis H en relación con los datos o evidencia E. Por lo tanto,

aunque el desarrollo inicial de la probabilidad ﬁducial fue con-

fuso, el objetivo era claro: hacer enunciados de probabilidad de

la forma P(H |E ) o, en nuestro contexto actual, desarrollar una

función de distribución G(θ |t). Por construcción e intención, G

está diseñada para proporcionar información sobre θ para un solo

ensayo, por lo que la ausencia de una interpretación frecuencial

no es sorprendente. Está claro que el enfoque ﬁducial busca es-

tablecer un enunciado inductivo completamente diferente al que

está disponible desde el punto de vista frecuencial.

Lindley (1958) obtuvo un resultado simple pero de gran alcan-

ce que no solo ilumina la relación entre los argumentos ﬁduciales

y Bayesianos, sino que también limita las aﬁrmaciones de la teo-

ría ﬁducial para proporcionar un método general de inferencia,

consistente y combinable con los métodos Bayesianos. De he-

cho, Lindley muestra que el argumento ﬁducial es consistente

con los métodos Bayesianos si y solo si se aplica a una variable

aleatoria x y un parámetro θ que pueden transformarse (por sepa-

rado) en u y τ respectivamente, de modo que τ es un parámetro

de locación de u; y en este caso, es equivalente a un argumento

Bayesiano con una distribución a priori rectangular para τ. Esta

crítica se aplica igualmente a las “distribuciones de conﬁanza”

deﬁnidas en la teoría general de la estimación por intervalos, en

la medida en que coincidan con distribuciones ﬁduciales.

0.4. Tests Bayesianos

Las dos hipótesis unilaterales

H0 : θ ≤ θ0

H1 : θ > θ0

se comparan fácilmente calculando sus probabilidades a poste-

riori

P(H0) = P(θ0 |x),

P(H1) = 1 − P(θ0 |x).

(37)

Sin embargo, la comparación de

H0 : θ = θ0

H1 : θ ̸= θ0

plantea algunas diﬁcultades. Jeffreys (1961, Capítulo 5) argu-

menta que el valor de θ0 se distingue de todos los demás valores

de θ y, por lo tanto, se puede asignar una probabilidad a priori al

punto:

p0 = p(θ0) > 0.

Las probabilidades a posteriori a favor de H0 son entonces

P(θ0 |x)

dP(θ0 |x)

Ω−θ0

Tal suposición es claramente plausible en algunos casos, como

probar si un coeﬁciente de regresión es cero, pero depende en

gran medida del valor de p0 seleccionado. El punto de vista fre-

cuentista sería que la hipótesis nula a menudo merece una aten-

ción especial, pero que no hay una forma razonable de llegar a

un valor apropiado de p0.

Bernardo (1980) examinó la estructu